Question

【题目】如图，已知椭圆C的中心在原点，其一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点相同，又椭圆C上有一点M(2，1)，直线l平行于OM且与椭圆C交于A，B两点，连接MA，MB.

(1)求椭圆C的方程；

(2)当MA，MB与x轴所构成的三角形是以x轴上所在线段为底边的等腰三角形时，求直线l在y轴上截距的取值范围．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】解：(1)抛物线y2＝4x的焦点为(，0)，又椭圆C上有一点M(2，1)，

由题意设椭圆方程为：＋＝1(a＞b＞0)，

则

解得

∴椭圆C的方程为＋＝1.

(2)∵l∥OMk1＝kO M＝，设直线在y轴上的截距为m，则直线l：y＝x＋m.

直线l与椭圆C交于A，B两点．

联立消去y得

x2＋2mx＋2m2－4＝0，∴Δ＝(2m)2－4(2m2－4)＝4(4－m2)＞0，

∴m的取值范围是{m|－2＜m＜2，且m≠0}，

设MA，MB的斜率分别为k1，k2，

∴k1＋k2＝0，

则A(x1，y1)，B(x2，y2)，则k1＝，k2＝，x1x2＝2m2－4，x1＋x2＝－2m，

∴k1＋k2＝＋

＝

＝

＝

＝＝0，

故MA，MB与x轴始终围成等腰三角形时，∴直线l在y轴上的截距m的取值范围是{m|－2＜m＜2，且m≠0}．