Question

已知函数.
⑴ 求函数的单调区间；
⑵ 如果对于任意的，总成立，求实数的取值范围；
⑶ 设函数，. 过点作函数图像的所有切线，令各切点的横坐标构成数列，求数列的所有项之和的值.

Answer 1

(1).;(2).(3).

解析试题分析：(1)利用求导的基本思路求解，注意导数的四则运算；（2）利用转化思想将问题转化为总成立，只需时.借助求导，研究的性质，通过对参数k的讨论和单调性的分析探求实数的取值范围；（3）化简函数，利用导数的几何含义求解曲线的切线方程，化简得到，分析得到，，则这两个函数的图像均关于点对称进行求解数列的所有项之和的值.
试题解析：(1) 由于，所以
.           (2分)
当，即时，；
当，即时，.
所以的单调递增区间为，
单调递减区间为.                         (4分)
(2) 令，要使总成立，只需时.
对求导得，
令，则，()
所以在上为增函数，所以.                       (6分)
对分类讨论：
① 当时，恒成立，所以在上为增函数，所以，即恒成立；
② 当时，在上有实根，因为在上为增函数，
所以当时，，所以，不符合题意；
③ 当时，恒成立，所以在上为减函数，则，不符合题意.
综合①②③可得，所求的实数的取值范围是.                    (9分)
(3) 因为，所以，
设切点坐标为，则斜率为，
切线方程为，            &n