Question

（1）已知-1≤x≤0，求函数y=4•2^x-3•4^x的最大值和最小值．
（2）已知函数f（x）=x+

4

x

．判断f（x）在（0，+∞）上的单调性并加以证明．

Answer 1

分析：（1）将函数y=4•2^x-3•4^x的化为y=-3•（2^x）²+4•2^x…再令t=2^x，转化为关于t的二次函数，由-1≤x≤0，求得t∈[

1

2

，1]，利用二次函数的单调性质即可求其最大值和最小值；
（2）f′（x）=1-

4

x2

，由）f′（x）＞0可求得f（x）在（0，+∞）上的单调递增区间，f′（x）＜0可求得f（x）在（0，+∞）上的单调递减区间．

解答：（1）解：∵y=4•2^x-3•4^x=-3•（2^x）²+4•2^x…（2分）
令t=2^x，则y=-3t²+4t=-3(t-

2

3

)2+

4

3

…（4分）
∵-1≤x≤0，
∴

1

2

≤2x≤1即t∈[

1

2

，1]…（6分）
又∵对称轴t=

2

3

∈[

1

2

，1]，
∴当t=

2

3

，即x=log2

2

3

时ymax=

4

3

…（10分）
当t=1时，即x=0时，y_min=1…（12分）
（2）f（x）=x+

4

x

在（0，+∞）上单调减区间为（0，2），增区间为（2，+∞）．
证明：∵f′（x）=1-

4

x2

=

(x+2)(x-2)

x2

，
∴由f′（x）＞0得：x＞2或x＜-2，
∵x∈（0，+∞），
∴x＞2．即f（x）=x+

4

x

在（0，+∞）上单调增区间为（2，+∞）；
同理，由f′（x）＜0得0＜x＜2或-2＜x＜0（舍），
即f（x）=x+

4

x

在（0，+∞）上的单调减区间为（0，2）．
综上所述，f（x）=x+

4

x

在（0，+∞）上单调减区间为（0，2），增区间为（2，+∞）．

点评：本题考查复合函数的单调性，着重考查二次函数与“双钩”的性质，突出考查二次函数的配方法及导数法（也可用单调性定义法），属于难题．