Question

已知直线l：mx-y-m+1=0（m∈R），若存在实数m，使得直线l被曲线C所截得的线段长度为|m|，则称曲线C为l的“优美曲线”．下面给出的曲线：
①y=-|x-1|；
②（x-1）²+（y-1）²=1；
③x²+3y²=4．
其中是直线l的“优美曲线”的有（　　）

• A、①②
• B、③
• C、②③
• D、①②③

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：题目给出的是新定义题，给出的直线过定点（1，1），对于曲线y=-|x-1|，通过分析其图象可知，直线l与该曲线不可能相交于两点，不符合新定义；对于曲线②（x-1）²+（y-1）²=1，直线l过该圆的圆心，所以m=±2时满足新定义；对于曲线x²+3y²=4，假设该曲线是直线l的“优美曲线”，把直线和其联立后看满足弦长等于m的值是否存在，由弦长公式得到关于m的方程，方程是高次方程，可以不求解，看方程对应函数的零点是否存在即可，利用根的存在性定理加以判断．

解答： 解：由直线l：mx-y-m+1=0，可知直线l过点A（1，1）．
对于①，y=-|x-1|，图象是顶点为（1，0）的倒V型，而直线l过顶点A（1，1）．
所以直线l不会与曲线y=-|x-1|有两个交点，不是直线l的“优美曲线”；
对于②，（x-1）²+（y-1）²=1是以A为圆心，半径为1的圆，
所以直线l与圆总有两个交点，且距离为直径2，所以存在m=±2，使得圆（x-1）²+（y-1）²=1与直线l有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段的长度恰好等于|m|．
所以圆（x-1）²+（y-1）²=1是直线l的“优美曲线”；
对于③，将y=mx+1-m代入x²+3y²=4，
得（3m²+1）x²+6m（1-m）x+3（1-m）²-4=0．
所以x₁+x₂=-

6m(1-m)

3m2+1

，x₁x₂=

3(1-m)2-4

3m2+1

．
若直线l被椭圆截得的线段长度是|m|，
则m2=(x1-x2)2+(y1-y1)2．
化简得

m2

m2+1

=(

6m+2

3m2+1

)2．
令f（a）=

m2

m2+1

-(

6m+2

3m2+1

)2．
f（1）=-

7

2

＜0，f（3）=

191

490

＞0．
所以函数f（a）在（1，3）上存在零点，即方程

m2

m2+1

=(

6m+2

3m2+1

)2有根．
而直线过椭圆上的定点（1，1），当a∈（1，3）时满足直线与椭圆相交．
故曲线x²+3y²=4是直线的“优美曲线”．
故选：C．

点评：本题考查了两点间的距离公式，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了数学转化思想方法及运算能力，特别是对③的判断，能够考查学生灵活处理问题的能力，是有一定难度题目．