【题目】已知函数与
的图象在点
处有相同的切线.
(Ⅰ)若函数与
的图象有两个交点,求实数
的取值范围;
(Ⅱ)设函数,
,求证:
.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)证明见解析.
【解析】
试题分析: (1)求出 的导数,由题意可得
,求出
,得到
,设
,求出导数,单调区间和最值,由题意可得只要最大值大于0,即可得到所求
的范围; (2)求出
的解析式,求得导数,令
,求得导数,判断
,即有
在
递增,运用分析法证明,要证
,即证
,即
,变形为
.令
,即证
,设
,求出导数,判断单调性,即可得证.
试题解析:
(Ⅰ)因为,
,根据题意,得
解得
所以.
设,则
,
当时,
,当
时,
,
所以,
又因为→
时,
→
;当
→
时,
→
,
故欲使两图象有两个交点,只需,
,
所以实数的取值范围为
.
(Ⅱ)由,
,得
.
设,则
,当
时,
,
单调递增,
所以,所以
,所以
.
要证,只需证
,即
,
变形得,等价于
,等价于
,
令(
),则只需证
,设
,则
,
所以,
所以对
恒成立,即
.
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【题目】已知集合,集合
是集合S的一个含有8个元素的子集.
(1)当时,设
,
①写出方程的解(
);
②若方程至少有三组不同的解,写出k的所有可能取值;
(2)证明:对任意一个X,存在正整数k,使得方程至少有三组不同的解.
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【题目】2016年时红军长征胜利80周年,某市电视台举办纪念红军长征胜利80周年知识问答,宣传长征精神.首先在甲、乙、丙、丁四个不同的公园进行支持签名活动.
公园 | 甲 | 乙 | 丙 | 丁 |
获得签名人数 | 45 | 60 | 30 | 15 |
然后在各公园签名的人中按分层抽样的方式抽取10名幸运之星回答问题,从10个关于长征的问题中随机抽取4个问题让幸运之星回答,全部答对的幸运之星获得一份纪念品.
(Ⅰ)求此活动中各公园幸运之星的人数;
(Ⅱ)若乙公园中每位幸运之星对每个问题答对的概率均为,求恰好2位幸运之星获得纪念品的概率;
(Ⅲ)若幸运之星小李对其中8个问题能答对,而另外2个问题答不对,记小李答对的问题数为,求
的分布列及数学期望
.
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【题目】有下列四个命题:
①“若,则x,y互为相反数”的逆命题;
②“全等三角形的面积相等”的否命题;
③“若,则
有实根”的逆否命题;
④“直角三角形有两个角是锐角”的逆命题;
其中真命题为( )
A.①②B.②③C.①③D.③④
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【题目】如图,在四棱锥中,
底面ABCD,底面ABCD为梯形,
,
,且
.
(1)在PD上是否存在一点F,使得平面PAB,若存在,找出F的位置,若不存在,请说明理由;
(2)求二面角的大小.
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【题目】为了调查观众对电影“复仇者联盟4”结局的满意程度,研究人员在某电影院随机抽取了1000名观众作调查,所得结果如下所示,其中不喜欢“复仇者联盟4”的结局的观众占被调查观众总数的.
男性观众 | 女性观众 | 总计 | |
喜欢“复仇者联盟4”的结局 | 400 | ||
不喜欢“复仇者联盟4”的结局 | 200 | ||
总计 |
(Ⅰ)完善上述列联表;
(Ⅱ)是否有99.9%的把握认为观众对电影“复仇者联盟4”结局的满意程度与性别具有相关性?
附:
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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