Question

已知

a

=（p，cosx），

b

=（sinx，3），凼数f（x）=

a

•

b

．
（1）若凼数g（x）=f（x）-q（q为常数）相邻两个零点的横坐标分别为x₁=

π

12

，x₂=

7π

12

，则求q的值以及凼数f（x）在（-

π

2

，

2π

3

）上的值域；
（2）在（1）的条件下，在△ABC中，满足f（B）=6，且AC=1，

AM

+

CM

=

0

，求|

BM

|的最大值．

Answer 1

考点：三角函数的最值,平面向量数量积的运算

专题：计算题,三角函数的图像与性质,解三角形,平面向量及应用

分析：（1）运用向量的数量积的坐标表示以及和差化简公式，可得p，再由两角和的正弦公式求得f（x），以及正弦函数的图象和性质，即可求得值域；
（2）由特殊角的三角函数值，可得B，再由余弦定理和基本不等式可得ac的最大值，再由向量的中点表示和向量的模即为模的平方，即可得到所求的最大值．

解答： 解：（1）由

a

=（p，cosx），

b

=（sinx，3），
函数f（x）=

a

•

b

=psinx+3cosx，
g（x）=psinx+3cosx-q，
由题意可得psin

π

12

+3cos

π

12

=q，psin

7π

12

+3cos

7π

12

=q，
两式相减可得，p=

-3(cos 7π 12 -cos π 12 )

sin 7π 12 -sin π 12

=

6sin π 3 sin π 4

2cos π 3 sin π 4

=3

3

．
q=3

3

sin

π

12

+3cos

π

12

=6sin（

π

12

+

π

6

）=6sin

π

4

=3

2

，
则有f（x）=3

3

sinx+3cosx=6（

3

2

sinx+

1

2

cosx）=6sin（x+

π

6

），
由x∈（-

π

2

，

2π

3

），x+

π

6

∈（-

π

3

，

5π

6

），
则sin（x+

π

6

）∈（-

3

2

，1]，f（x）∈（-3

3

，6]
则值域为（-3

3

，6]；
（2）f（B）=6sin（B+

π

6

）=6，（0＜B＜π），
则B=

π

3

，
由余弦定理可得b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac=1，
即a²+c²=1+ac，
由于a²+c²≥2ac，则ac≤1，当且仅当a=c=1取得等号，
由

AM

+

CM

=

0

，则M为AC的中点，
则

BM

=

1

2

（

BA

+

BC

），
|

BM

|²=

1

4

（

BA

2+

BC

2+2

BA

•

BC

）=

1

4

（c²+a²+2accos

π

3

）=

1

4

（1+2ac）≤

3

4

，
即有|

BM

|≤

3

2

．
当△ABC为等边三角形时，|

BM

|取得最大值，且为

3

2

．

点评：本题考查平面向量的数量积的坐标表示和中点的向量表示，及向量的平方即为模的平方，考查和差化积公式和两角和差的正弦公式，考查余弦定理和基本不等式的运用，考查运算能力，属于中档题．