Question

如图所示，已知点P在正方体ABCD—A′B′C′D′的对角线
BD′上,∠PDA=60°.
(1)求DP与CC′所成角的大小;
(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小.

Answer 1

(1) DP与CC′所成的角为45°(2) DP与平面AA′D′D所成的角为30°

  如图所示，以D为原点，DA为单位长度建立空间直角坐标系D—xyz.

则=（1，0，0），=(0,0,1).
连接BD,B′D′.
在平面BB′D′D中,
延长DP交B′D′于H.
设="(m,m,1)" (m＞0),由已知〈,〉=60°,
由·=||||cos〈, 〉,
可得2m=.
解得m=,所以=（,,1）.
(1)因为cos〈,〉==,
所以〈,〉=45°,
即DP与CC′所成的角为45°.
(2)平面AA′D′D的一个法向量是=(0,1,0).
因为cos〈,〉==,
所以〈,〉=60°,
可得DP与平面AA′D′D所成的角为30°.