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    为丰富农村业余文化生活，决定在A，B，N三个村子的中间地带建造文化中心．通过测量，发现三个村子分别位于矩形ABCD的两个顶点A，B和以边AB的中心M为圆心，以MC长为半径的圆弧的中心N处，且AB=8km，BC=4
    		2
    km．经协商，文化服务中心拟建在与A，B等距离的O处，并建造三条道路AO，BO，NO与各村通达．若道路建设成本AO，BO段为每公里
    		2
    a万元，NO段为每公里a万元，建设总费用为w万元．
    （1）若三条道路建设的费用相同，求该文化中心离N村的距离；
    （2）若建设总费用最少，求该文化中心离N村的距离．
    考点：函数模型的选择与应用
    专题：应用题,函数思想,函数的性质及应用
    分析：（1）设∠AOB=θ，三条道路建设的费用相同，则
    4
    cosθ
    ×
    		2
    a=(4
    		3
    -4tanθ)a    ，利用三角变换求解．
    （2）总费用ω=2×
    4
    		2
    a
    cosθ
    +a(4
    		3
    -4tanθ)，θ∈[0，
    π
    3
    ]    ，即ω=
    8
    		2
    -4sinθ
    cosθ
    a+4
    		3
    a    ，求导判断极值点，令ω′=
    8
    		2
    sinθ-4
    cos2θ
    a=0，得sinθ=
    		2
    4
    ，再转换为三角变换求值解决．
    解答： 解：（1）不妨设∠AOB=θ，依题意得θ∈[0，
    π
    3
    ]    ，
    且MC=4
    		3
    ，由AO=BO=4
    		3
    =
    4
    cosθ
    ，NO=4
    		3
    -4tanθ    ，
    若三条道路建设的费用相同，则
    4
    cosθ
    ×
    		2
    a=(4
    		3
    -4tanθ)a
    所以sin(
    π
    3
    -θ)=
    		2
    2
    ，所以θ=
    π
    12
    ．
    由二倍角的正切公式得，tanθ=tan
    π
    12
    =2-
    		3

    即NO=8
    		3
    -8    ，
    答：该文化中心离N村的距离为(8
    		3
    -8)km    ．
    （2）总费用ω=2×
    4
    		2
    a
    cosθ
    +a(4
    		3
    -4tanθ)，θ∈[0，
    π
    3
    ]
    即ω=
    8
    		2
    -4sinθ
    cosθ
    a+4
    		3
    a    ，
    令ω′=
    8
    		2
    sinθ-4
    cos2θ
    a=0，得sinθ=
    		2
    4

    当0≤sinθ≤
    		2
    4
    2，ω′＜0，当
    		2
    4
    ＜sinθ≤
    		3
    2
    时，ω′＞0    ，
    所以当sinθ=
    		2
    4
    时，ω    有最小值，
    这时，tanθ=
    		7
    7
    ，NO=4
    		3
    -
    4
    		7
    7

    答：该文化中心离N村的距离为(4
    		3
    -
    4
    		7
    7
    )km    ．
    点评：本题综合考查了函数的性质在实际问题中的应用，转换为三角函数最值求解．
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    1
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    1
    2
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    1-a
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    A、-
    3
    4
    B、0
    C、
    3
    4
    D、-1

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