Question

1．已知函数f（x）=e^x-x+$\frac{1}{2}$x²．
（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）设g（x）=e^x+$\frac{1}{2}$x²-2lnx+a-1-f′（x），若g（x）≥0，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程，可得切线方程；
（2）化简g（x），运用参数分离，构造函数，求得导数和单调区间、极值也为最值，可得a的范围．

解答 解：（1）函数f（x）=e^x-x+$\frac{1}{2}$x²的导数为f′（x）=e^x-1+x，
曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为k=f′（1）=e，
切点为（1，e-$\frac{1}{2}$），
即有曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-（e-$\frac{1}{2}$）=e（x-1），
即为ex-y-$\frac{1}{2}$=0；
（2）由于f′（x）=e^x-1+x，
则g（x）=e^x+$\frac{1}{2}$x²-2lnx+a-1-f′（x）=$\frac{1}{2}$x²-2lnx+a-x，
由已知，g（x）≥0，只需$\frac{1}{2}$x²-2lnx+a-x≥0，
即a≥x-$\frac{1}{2}$x²+2lnx，
设h（x）=x-$\frac{1}{2}$x²+2lnx（x＞0），
则′（x）=1-x+$\frac{2}{x}$=-$\frac{（x+1）（x-2）}{x}$，
令h′（x）=0，得x=2；令h′（x）＞0，得0＜x＜2；
令h′（x）＜0，得x＞2，
即有h（x）在（0，2）上是增函数；在（2，+∞）上为减函数．
则h（x）_max=h（2）=2ln2，即有a≥2ln2，
故a的范围是[2ln2，+∞）．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值以及最值，同时考查不等式恒成立问题的解法，属于中档题．