Question

18．已知函数f（x）对一切实数x，y都满足f（x+y）=f（y）+（x+2y+1）x，且f（1）=0．
（1）求f（0）的值；
（2）求f（x）的解析式；
（3）当x∈[0，$\frac{1}{2}$]时，f（x）+3＜2x+a恒成立，求a的范围．

Answer 1

分析 （1）利用赋值法，令x=1，y=0带入计算即可．
（2）令y=0，带入化简即可得到f（x）的解析式；
（3）采用参数分离，利用函数单调性求解．

解答 解：由题意：函数f（x）对一切实数x，y都满足f（x+y）=f（y）+（x+2y+1）x，且f（1）=0
（1）利用赋值法，令x=1，y=0，带入f（x+y）=f（y）+（x+2y+1）x．
可得：f（1）=f（0）+（1+2×0+1）×1．
∴f（0）=-2
（2）令y=0，带入f（x+y）=f（y）+（x+2y+1）x．
整理可得：f（x）=f（0）+（x+1）x
=x²+x-2
所以f（x）的解析式为：f（x）=x²+x-2．
（3）当x∈[0，$\frac{1}{2}$]时，f（x）+3＜2x+a恒成立，等价于：（x²-x+1）_max＜a恒成立，
令g（x）=x²-x+1，
开口向上，对称轴x=$\frac{1}{2}$，
当x∈[0，$\frac{1}{2}$]时，g（x）是单调减函数．
∴x=0时g（x）取得最大值，即g（0）_max=1．
∴a＞1．
所以a的范围是（1，+∞）．

点评 本题考查了抽象函数的解析式求法和利用单调性解决恒成立的问题．利用了赋值法．属于中档题．