Question

7．已知单位向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{3}$，设向量$\overrightarrow{c}$=x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{b}$，x，y∈R，若|$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=1，则x+2y的最大值为5．

Answer 1

分析 运用向量的数量积的定义可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{2}$，由题意可得（x-1）²+（y-1）²+（x-1）（y-1）=1，令x+2y=t，即有x=t-2y，代入化为3y²+（3-3t）y+t²-3t+2=0，由y∈R，可得△≥0，解不等式即可得到所求最大值．

解答 解：由单位向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{3}$，可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=1×1×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，
若|$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=1，则|（x-1）$\overrightarrow{a}$+（y-1）$\overrightarrow{b}$|=1，
即为（x-1）²$\overrightarrow{a}$²+（y-1）²$\overrightarrow{b}$²+2（x-1）（y-1）$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=1，
可得（x-1）²+（y-1）²+（x-1）（y-1）=1，
令x+2y=t，即有x=t-2y，
即（t-2y-1）²+（y-1）²+（t-2y-1）（y-1）=1，
化简可得3y²+（3-3t）y+t²-3t+2=0，
由y∈R，可得△≥0，
即（3-3t）²-12（t²-3t+2）≥0，
化简为t²-6t+5≤0，
解得1≤t≤5．
可得x+2y的最大值为5．
故答案为：5．

点评 本题考查向量的数量积的定义和性质，考查最值的求法，注意运用方程有实数解的条件：判别式大于等于0，考查运算能力，属于中档题．