Question

（2013•辽宁一模）在正三棱锥P-ABC中，有一半球，其底面与三棱锥的底面重合，正三棱锥的三个侧面都与半球相切，如果半球的半径等于1，则正三棱锥的体积最小时，正三棱锥的高等于（　　）

• A．

  2

• B．2

  3

• C．

  6

• D．

  3

Answer 1

分析：画出图形，设三棱锥的高 PO=x，底面△ABC的AB边上的高 CD=y，求出x，y的关系，推出体积的表达式，利用函数的导数求出函数的最小值，即可求出高的值．

解答： 解：根据题意，画出图形如下，
其中，立体图形只画出了半球的底面．
设三棱锥的高 PO=x，
底面△ABC的AB边上的高 CD=3•OD=3y
在纵切面图形可看出，Rt△PEO∽Rt△POD，
则

PO

EO

=

PD

OD

，而 PD=

PO2+OD2

，即

1

x

=

x2+y2

y

，整理得 x²y²=x²+y²，
所以 y2=

x2

x2-1

，
而三棱锥P-ABC的体积等于

1

3

×底面△ABC的面积×高PO，即V=

1

3

×

1

2

×AB×CD×PO=

1

3

×

1

2

×2

3

y×3y×x=

3

y²x=

3 x3

x2-1

，
对体积函数求导，得
V′=

3 x2(x2-3)

(x2-1)2

，令V′=0，解得唯一正解 x=

3

，
由该体积函数的几何意义可知 x=

3

为其体积最小值点，
故三棱锥体积最小时V_min=

9

2

，高为

3

．
故选D．

点评：本题考查几何体的内接球的问题，函数的导数的应用，考查空间想象能力以及计算能力．