Question

18．如图，AB是圆柱OO′的一条母线，BC过底面圆心O，D是圆O上一点．已知AB=BC=10，S_侧=2πrh=100π．
（1）求该圆柱的表面积；
（2）将四面体ABCD绕母线AB所在的直线旋转一周，求△ACD的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积；
（3）求点B到平面ACD的距离．

Answer 1

分析 （1）求出底面积及侧面积，即可求出圆柱的表面积；
（2）△ACD的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积是分别以AC、AD为母线的圆锥的体积之差；
（3）由V_A-BCD=V_B-ACD，得点B到平面ACD的距离．

解答 解：（1）圆柱的底面半径r=5，高h=10，
圆柱的侧面积S_侧=2πrh=100π，…（2分）
圆柱的表面积${S_全}=2π{r^2}+100π=150π$．…（3分）
（2）由题意可知BD=8．
△ACD的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积是分别以AC、AD为母线的圆锥的体积之差，即$V=\frac{1}{3}π•B{C^2}•AB-\frac{1}{3}π•B{D^2}•AB=120π$．…（7分）
（3）由AB⊥平面BCD，得AB⊥CD，而CD⊥BD，AB∩BD=B，则CD⊥平面ABD，故CD⊥AD．…（8分）
而AD=2$\sqrt{41}$，所以Rt△ACD的面积为S=$\frac{1}{2}•6•2\sqrt{41}$=6$\sqrt{41}$．…（9分）
设点B到平面ACD的距离为h，由V_A-BCD=V_B-ACD，得：h=$\frac{40\sqrt{41}}{41}$，
即点B到平面ACD的距离为$\frac{40\sqrt{41}}{41}$．…（12分）

点评 本题考查圆柱的表面积、△ACD的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积、点B到平面ACD的距离，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．