Question

3．关于x的方程$\frac{1}{sinx}$+$\frac{1}{cosx}$+$\frac{1}{sinxcosx}$-a=0在（0，$\frac{π}{2}$）内有解，则a的取值范围是[2+2$\sqrt{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 由题意可得a=$\frac{sinx+cosx+1}{sinxcosx}$，令sinx+cosx=t∈（ 1，$\sqrt{2}$]，则sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，a=$\frac{t+1}{\frac{{t}^{2}-1}{2}}$=$\frac{2}{t-1}$，再利用不等式的基本性质求得a的范围．

解答 解：由题意可得a=$\frac{1}{sinx}$+$\frac{1}{cosx}$+$\frac{1}{sinx•cosx}$=$\frac{sinx+cosx+1}{sinxcosx}$，令sinx+cosx=t=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈（ 1，$\sqrt{2}$]，
则sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，a=$\frac{t+1}{\frac{{t}^{2}-1}{2}}$=$\frac{2}{t-1}$，故当t=$\sqrt{2}$时，a取得最小值为2$\sqrt{2}$+2，当t趋于1时，a趋于无穷大，
故a的范围为[2+2$\sqrt{2}$，+∞），
故答案为：[2+2$\sqrt{2}$，+∞）．

点评 本题主要考查正弦函数的定义域和值域，不等式的基本性质，属于基础题．