Question

8．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$cos2x-2sin²（x+$\frac{π}{4}$）．
（1）求f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值；
（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2，f（A）=-$\sqrt{3}$-1，求△ABC周长的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据二倍角公式和两角和的余弦公式化简解析式，由x的范围求出$2x+\frac{π}{6}$的范围，再由余弦函数的性质求出f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值；
（2）由（1）化简f（A）=-$\sqrt{3}$-1，根据锐角A的范围求出角A，由余弦定理和基本不等式求出b+c的范围，即可求出△ABC周长的最大值．

解答 解：（1）由题意得，f（x）=$\sqrt{3}$cos2x-2sin²（x+$\frac{π}{4}$）
=$\sqrt{3}$cos2x-[1-cos2（x+$\frac{π}{4}$）]=$\sqrt{3}$cos2x-sin2x-1
=$2cos（2x+\frac{π}{6}）-1$，
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴2x∈[0，π]，$2x+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}]$，
∴$cos（2x+\frac{π}{6}）∈[-1，\frac{\sqrt{3}}{2}]$，
$2cos（2x+\frac{π}{6}）-1∈$[-3，$\sqrt{3}$-1]，
则f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值是$\sqrt{3}$-1、最小值是-3；
（2）由（1）得，f（A）=$2cos（2A+\frac{π}{6}）-1$=$-\sqrt{3}-1$，
则$cos（2A+\frac{π}{6}）=-\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵0＜A＜$\frac{π}{2}$，∴$2A+\frac{π}{6}∈（\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}）$，则$2A+\frac{π}{6}=\frac{5π}{6}$，
解得A=$\frac{π}{3}$，
又a=2，则由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，
∴4=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc，
则（b+c）²-4=3bc$≤3•（\frac{b+c}{2}）^{2}$（当且仅当b=c时取等号），
解得（b+c）²≤16，b+c≤4，
∴△ABC周长L=a+b+c的最大值是6．

点评 本题考查余弦定理，基本不等式，余弦函数的性质，以及二倍角公式、两角和的余弦公式的应用，考查整体思想，属于中档题．