Question

18．已知：向量$\overrightarrow{a}$=（1，-3），$\overrightarrow{b}$=（-2，m），且$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）．
（1）求实数m的值；
（2）求向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角θ；
（3）当k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$平行时，求实数k的值．

Answer 1

分析 （1）先求$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=（3，-3-m）$，根据$\overrightarrow{a}⊥（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）$便有$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）$=0，从而可求出m=-4；
（2）由（1）便求得向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的坐标，根据向量夹角余弦的坐标公式即可求出cosθ，由θ的范围即可得出θ；
（3）写出向量$k\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$的坐标，然后根据两平行向量的坐标关系即可求出k．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=（3，-3-m）$；
由$\overrightarrow{a}⊥（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）$得$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）=3+3（3+m）=0$；
∴m=-4；
（2）$\overrightarrow{b}=（-2，-4）$，$\overrightarrow{a}=（1，-3）$；
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}=\frac{10}{\sqrt{20}•\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
θ∈[0，π]；
∴$θ=\frac{π}{4}$；
即向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角θ为$\frac{π}{4}$；
（3）k$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$=（k-2，-3k-4），$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=（3，1）$；
当$k\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$平行时，（k-2）•1-3•（-3k-4）=0；
∴k=-1．

点评 考查向量坐标的加减及数乘运算，向量垂直的充要条件，以及向量夹角余弦的坐标公式，清楚向量夹角的取值范围，清楚向量平行时的坐标的关系．