Question

10．已知函数f（x）=$\frac{1}{ln（x+1）}$-$\frac{1}{x}$，若x∈（0，1]，求函数f（x）的最小值．

Answer 1

分析 构造函数g（x）=（1+x）ln²（x+1）-x²，（x＞-1）．求出导数，再令h（x）=ln²（x+1）+2ln（x+1）-2x，求出导数，再令u（x）=ln（x+1）-x，x∈（0，1]，求出导数，判断u（x）的单调性，可得g（x）的单调性，即有（1+x）ln²（x+1）-x²＜0，求出f（x）的导数，求得f（x）在（0，1]递减，可得f（1）取得最小值．

解答 解：∵函数g（x）=（1+x）ln²（x+1）-x²，（x＞-1）．
∴g′（x）=ln²（x+1）+2ln（x+1）-2x．
令h（x）=ln²（x+1）+2ln（x+1）-2x，
则h′（x）=$\frac{2ln（x+1）-2x}{x+1}$．
设u（x）=ln（x+1）-x，x∈（0，1]，
则u′（x）=$\frac{1}{x+1}$-1＜0，
∴u（x）在（0，1]上单调递减，
∴u（x）＜u（0）=0．
∴h′（x）=$\frac{2ln（x+1）-2x}{x+1}$＜0，
∴h（x）在（0，1]上单调递减，
∴h（x）＜h（0）=0，
∴g′（x）在（0，1]上单调递减，∴g′（x）＜g′（0）=0，
∴g（x）在（0，1]上单调递减．
有g（1）≤g（x）＜g（0）=0，即g（x）=（1+x）ln²（x+1）-x²＜0，
则函数f（x）=$\frac{1}{ln（x+1）}$-$\frac{1}{x}$的导数为f′（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{（x+1）l{n}^{2}（x+1）}$
=$\frac{（x+1）l{n}^{2}（x+1）-{x}^{2}}{{x}^{2}（x+1）l{n}^{2}（x+1）}$＜0，
∴f（x）在（0，1]上单调递减，于是f（1）≤f（x）＜f（0），
∴f（x）在（0，1]上的最小值为f（1）=$\frac{1}{ln2}$-1．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间，熟练掌握利用导数研究函数的单调性，并运用单调性是解题的关键．