Question

4．已知抛物线的图象关于x轴对称，它的顶点是坐标原点，焦点为F，并且经过点M（2，-2）．
（1）求该抛物线方程及|MF|
（2）若直线y=x-2与抛物线相交于A、B两点，求证：OA⊥OB．

Answer 1

分析 （1）设抛物线方程为y²=mx，代入M（2，-2），求出m，即可求该抛物线方程及|MF|；
（2）先联立直线与抛物线方程消去x，利用韦达定理取得y₁+y₂和y₁y₂的值，进而根据直线方程求得x₁x₂的值，利用x₁x₂+y₁y₂=0，即可证明结论．

解答 （1）解：设抛物线方程为y²=mx，
代入M（2，-2），可得4=2m，即有m=2，
则抛物线的方程为y²=2x，|MF|=2+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$．
（2）证明：联立直线与抛物线方程得y²-2y-4=0
∴y₁+y₂=2，y₁y₂=-4
∴x₁x₂=（y₁+2）（y₂+2）=y₁y₂+2（y₁+y₂）+4=4
∴x₁x₂+y₁y₂=0
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，
∴$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，
∴OA⊥OB．

点评 本题主要考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系．解决的常用方法即为联立方程，消元后利用韦达定理找到解决问题的突破口．