Question

19．如图，平行四边形ABCD（A，B，C，D按逆时针顺序排列），AB，AD边所在直线的方程分别是x+4y-7=0，3x+2y-11=0，且对角线AC和BD的交点为M（2，0）
（1）求点A的坐标
（2）求CD边所在直线的方程．

Answer 1

分析 （1）联立直线方程，解方程组可得交点A；
（2）解法一：求出C（1，-1），由平行关系可得直线CD的斜率，可得点斜式方程，化为一般式即可；
解法二：C（1，-1），设CD边所在的直线方程为：x+4y+m=0，代点求m即可；
解法三：设P（x，y）为CD边所在的直线上的任一点，P关于点M的对称点为P′（x₀，y₀），代入法消参数可得．

解答 解：（1）由题意联立直线方程$\left\{\begin{array}{l}x+4y-7=0\\ 3x+2y-11=0\end{array}\right.$，
解方程组可得$\left\{\begin{array}{l}x=3\\ y=1\end{array}\right.$，∴A（3，1）
（2）解法一：A关于M的对称点为C，∴C（1，-1），
又${k_{AB}}={k_{CD}}=-\frac{1}{4}$，∴CD边所在的直线方程为$y+1=-\frac{1}{4}（x-1）$
化为一般式可得：x+4y+3=0
解法二：A关于M的对称点为C，∴C（1，-1），
设CD边所在的直线方程为：x+4y+m=0，
∴1+4×（-1）+m=0，解得m=3，
∴CD边所在的直线方程为x+4y+3=0
解法三：设P（x，y）为CD边所在的直线上的任一点，
P关于点M的对称点为P′（x₀，y₀），
则$\left\{\begin{array}{l}\frac{{x+{x_0}}}{2}=2\\ \frac{{y+{y_0}}}{2}=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x_0}=4-x\\{y_0}=-y\end{array}\right.$，
又P′在直线AB上，∴（4-x）+4（-y）-7=0
∴x+4y+3=0

点评 本题考查直线的方程，直线与直线的位置关系，点线对称关系等基础知识，属基础题．