Question

11．设数列{a_n}的前n项和S_n满足：S_n=n²，等比数列{b_n}满足：b₂=2，b₅=16
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_nb_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由数列的通项和前n项和的关系，可得an的通项，由等比数列的通项可得；
（2）由错位相减法，可得数列{a_nb_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）{a_n}的前n项和S_n满足：S_n=n²，
n=1时，a₁=S₁=1，n＞1时，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，
n=1也成立．
故a_n=2n-1，
等比数列{b_n}满足：b₂=2，b₅=16，
q³=$\frac{{b}_{5}}{{b}_{2}}$=8，解得q=2．
则有b_n=b₂q^n-2=2^n-1；
（2）前n项和T_n=1•1+3•2+5•4+7•8+…+（2n-1）•2^n-1，
2T_n=1•2+3•4+5•8+7•16+…+（2n-1）•2ⁿ，
两式相减．得-T_n=1+2•2+2•4+2•8+2•16+…+2•2^n-1-（2n-1）•2ⁿ，
即有-T_n=1+$\frac{4（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（2n-1）•2ⁿ，
则有${T_n}=（2n-3）{2^n}+3$．

点评 本题考查数列的通项和前n项和的关系，同时考查等比数列的通项和求和公式，及数列的求和：错位相减法，考查运算能力，属于中档题．