Question

3．（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{\root{3}{x}}$）²ⁿ（n∈N^*）展开式中只有第6项系数最大，则其常数项为（　　）

• A． 120
• B． 210
• C． 252
• D． 45

Answer 1

分析 由已知得到展开式的通项，得到第6项系数，根据二项展开式的系数性质得到n，可求常数项．

解答 解：由已知（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{\root{3}{x}}$）²ⁿ（n∈N^*）展开式中只有第6项系数为${C}_{2n}^{5}$最大，
所以展开式有11项，所以2n=10，即n=5，
又展开式的通项为${C}_{10}^{k}（\sqrt{x}）^{10-k}（\frac{1}{\root{3}{x}}）^{k}$=${C}_{10}^{k}{x}^{5-\frac{5}{6}}k$，
令5-$\frac{5}{6}k$=0解得k=6，
所以展开式的常数项为${C}_{10}^{6}={C}_{10}^{4}$=210；
故选：B

点评 本题考查了二项展开式的系数以及求特征项；解得本题的关键是求出n，利用通项求特征项．