Question

9．某科技兴趣小组需制作一个面积为$2\sqrt{2}$平方米，底角为45°的等腰梯形构件，则该梯形构件的周长的最小值为8米．

Answer 1

分析 设等腰梯形的上底为y米，高为x米，由底角为45°，则下底为2x+y米，运用梯形的面积公式，可得x+y为x的表达式，再由基本不等式，即可得到周长的最小值．

解答 解：设等腰梯形的上底为y米，高为x米，
由底角为45°，则下底为2x+y米，
则等腰梯形的面积为S=$\frac{1}{2}$x（2x+2y）=2$\sqrt{2}$，
即为x（x+y）=2$\sqrt{2}$，
即有x+y=$\frac{2\sqrt{2}}{x}$，
周长为c=2（x+y）+2$\sqrt{2}$x=$\frac{4\sqrt{2}}{x}$+2$\sqrt{2}$x
≥2$\sqrt{\frac{4\sqrt{2}}{x}•2\sqrt{2}x}$=8．
当且仅当$\frac{4\sqrt{2}}{x}$=2$\sqrt{2}$x，即x=$\sqrt{2}$时，取得最小值，且为8米．
故答案为：8．

点评 本题考查基本不等式在最值应用题中的运用，考查运算能力，属于中档题．