Question

已知椭圆

x2

16

+

y2

25

=1的焦点分别是F₁、F₂，P是椭圆上一点，若连结F₁、F₂、P三点恰好能构成直角三角形，则点P到y轴的距离是（　　）

• A、

  16

  5

• B、3
• C、

  16

  3

• D、

  25

  3

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,分类讨论,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：P、F₁、F₂是一个直角三角形的三个顶点，分两种情况：两焦点连线段F₁F₂为直角边；两焦点连线F₁F₂为斜边，计算P点纵坐标，代入方程得横坐标，即可得到P到y轴距离．

解答： 解：椭圆

x2

16

+

y2

25

=1的焦点在y轴上，
且为F₁（0，-3），F₂（0，3），
且a=5，b=4，c=3，
第一种情况，两焦点连线段F₁F₂为直角边，则P点纵坐标为±3，
则令y=±3，代入椭圆方程，可得，x=

16

5

P到y轴距离为

16

5

；
第二种情况，两焦点连线F₁F₂为斜边，
设P（x，y），则

y+3

x

•

y-3

x

=-1，即为x²+y²=9，联立椭圆方程

x2

16

+

y2

25

=1，则无解．
故点P到y轴的距离是

16

5

．
故选A．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查分类讨论的数学思想，解题的关键是正确分类，求出P点横坐标．