Question

已知函数f（x）=3^x，且f^-1（18）=a+2，g（x）=3^ax-4^x
（1）求a的值；
（2）求g（x）的表达式；
（3）当x∈[-1，1]时，g（x）的值域并判断g（x）的单调性．

Answer 1

分析：（1）欲求a的值，根据f^-1（18）=a+2，只要即从原函数式中反解出x，后再进行x，y互换，求得反函数的解析式即可．
（2）由（1）求得的a值直接代入g（x）=3^ax-4^x欲即得g（x）的表达式；
（3）令u=2^x，将g（x）的值域、单调性问题转化为二次函数u-u²的值域、单调性解决即可．

解答：解：（1）f^-1（x）=log₃x，log₃18=a+2，
∴a=log₃2．
（2）g（x）=（3^a）^x-4^x=（3^log₃2）^x-4^x=2^x-4^x．
（3）令u=2^x，
∵-1≤x≤1，则

1

2

≤u≤2，
g（x）=φ（u）=u-u²=-（u-

1

2

）²+

1

4

，
当u=

1

2

时，φ（u）_max=

1

4

，当u=2时，φ（u）_min=-2．
∴g（x）的值域为[-2，

1

4

]，
当-1≤x≤1时，

1

2

≤u≤2，φ（u）为减函数，而u=2^x为增函数，
g（x）在[-1，1]上为减函数．

点评：本题考查反函数的求法及函数单调性的判断，属于基础题目，要会求一些简单函数的值域及单调性判断，掌握互为反函数的函数图象间的关系．