【题目】设函数f(x)= .
(1)求函数f(x)在[0,2]上得单调区间;
(2)当m=0,k∈R时,求函数g(x)=f(x)﹣kx2在R上零点个数.
【答案】
(1)解: ,
当2﹣m≤0,即m≥2时,x∈[0,2],f′(x)≥0,f(x)在[0,2]上单调递增;
当0<m<2时,令f′(x)<0,得0<x<2﹣m,令f′(x)>0,得2﹣m<x<2,
所以f(x)在[0,2﹣m]上单调递减,在[2﹣m,2]上单调递增;
当m≤0时,f′(x)≤0,f(x)在[0,2]上单调递减
(2)解:由g(x)=f(x)﹣kx2=0 ,
令 ,
,由
或
,
由 或
,
∴h(x)在 上单调递减,在
上单调递增
在x<0时,当 时,h(x)取得极小值,且
,
当x→﹣∞时,h(x)→+∞;x→0时,h(x)→+∞.
在x>0时,当 时,h(x)取得极小值
,
当x→0时,h(x)→+∞,x→+∞时,h(x)→0.
综上结合图形得当 没有零点,当
有一个零点,
当 或
有二个零点,当
时有三个零点
【解析】(1)求出函数的导数,通过讨论m的范围,确定导数的符号,从而求出函数的单调区间即可;(2)将m=0代入g(x),令g(x)=0,分离出k,根据函数的单调性求出k的范围,从而判断出零点的个数.
【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性对题目进行判断即可得到答案,需要熟知一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果
,那么函数
在这个区间单调递增;(2)如果
,那么函数
在这个区间单调递减.
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【题目】在三棱锥D﹣ABC中,已知AB=BC=AD= ,BD=AC=2,BC⊥AD,则三棱锥D﹣ABC外接球的表面积为( )
A.6π
B.12π
C.6 π
D.6 π
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【题目】已知分别是海岸线
上的三个集镇,
位于
的正南方向
处,
位于
的北偏东60°方向
处;
(1)为了缓解集镇的交通压力,拟在海岸线
上分别修建码头
,开辟水上直达航线,使
,
.勘测时发现以
为圆心,
为半径的扇形区域为浅水区,不适宜船只航行,问此航线是否影响船只航行?
(2)为了发展经济需要,政府计划填海造陆,建造一个商业区(如图四边形所示),其中
,
,
,求该商业区的面积
的取值范围.
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【题目】某海关对同时从三个不同地区进口的某种商品进行随机抽样检测,已知从
三个地区抽取的商品件数分别是50,150,100.检测人员再用分层抽样的方法从海关抽样的这些商品中随机抽取6件样品进行检测.
(1)求这6件样品中,来自各地区商品的数量;
(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往另一机构进行进一步检测,求这2件样品来自相同地区的概率.
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【题目】某种新产品投放市场的100天中,前40天价格呈直线上升,而后60天其价格呈直线下降,现统计出其中4天的价格如下表:
时间 | 第4天 | 第32天 | 第60天 | 第90天 |
价格(千元) | 23 | 30 | 22 | 7 |
(1)写出价格关于时间
的函数关系式;(
表示投放市场的第
天);
(2)销售量与时间
的函数关系:
,则该产品投放市场第几天销售额最高?最高为多少千元?
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