Question

【题目】如图，焦点在x轴的椭圆，离心率e= ，且过点A（﹣2，1），由椭圆上异于点A的P点发出的光线射到A点处被直线y=1反射后交椭圆于Q点（Q点与P点不重合）．
（1）求椭圆标准方程；
（2）求证：直线PQ的斜率为定值；
（3）求△OPQ的面积的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：设椭圆方程为 ，

∵椭圆经过点（﹣2，1），

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴椭圆方程为

（2）证明：设直线AP方程为y=k（x+2）+1，则直线AQ的方程为y=﹣k（x+2）+1

由 可得（1+2k2）x2+4k（2k+1）x+8k2+8k﹣4=0，△＞0，

设P（x1，y1），由A（﹣2，1）可得 ，

∴P（ ， ），

同理可得Q（ ， ），

∴kPQ=﹣1

（3）解：由（2），设PQ的方程为y=﹣x+m，代入椭圆方程得：3x2﹣4mx+2m2﹣6=0．

令△＞0，得﹣3＜m＜3，

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则 ，

∴

设原点O到直线的距离为d，则 ，

∴ ，

当 时，△OPQ面积的最大值为

【解析】（1）设椭圆方程，利用离心率e= ，且过点A（﹣2，1），求出几何量，即可得出椭圆标准方程；（2）设直线AP方程、直线AQ的方程，与椭圆方程联立，求出P，Q的坐标，即可得出结论；（3）设PQ的方程为y=﹣x+m，代入椭圆方程，利用弦长公式求出|PQ|，再求出原点O到直线的距离，可得△OPQ的面积，利用基本不等式，即可求其最大值．