Question

【题目】已知f(x)是定义在R上的偶函数，且x≤0时， f(x)＝－x＋1

(1)求f(0)，f(2)；

(2)求函数f(x)的解析式；

(3)若f(a－1)<3，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）3； （2）； （3）(-1，3).

【解析】

(1 )将代入解析式可得，利用函数奇偶性的性质即可求的值； (2)令，则，求得，根据函数奇偶性的性质即可求函数)的解析式；(3)由 ，根据函数的奇偶性与单调性，将不等式转化为，利用绝对值不等式的解法可求实数的取值范围.

(1)因为当x≤0时，f(x)＝－x＋1所以f(0)＝1.

又函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以

f(2)＝f(－2)＝—(－2)＋1＝3，即f(2)＝3.

(2)令x>0，则－x<0，

从而f(－x)＝x＋1＝f(x)，

∴x>0时，f(x)＝x＋1

∴函数f(x)的解析式为

,

(3)由函数图像可得

∴f(x)＝－x＋1在(－∞，0]上为减函数．

又f(x)是定义在R上的偶函数，

∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数．

∵f(a－1)<3＝f(2)，∴|a－1|<2，解得-1<a<3.

故实数a的取值范围为(-1，3).