【题目】如图,四棱锥中,底面
是边长为2的菱形,
,
为平面
外一点,且
底面
上的射影
为四边形
的中心,
,
为
上一点,
.
(Ⅰ)若为
上一点,且
,求证:
平面
;
(Ⅱ)求二面角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ) .
【解析】试题分析:(Ⅰ)在上取点
,可证明四边形
为平行四边形,得到
,从而根据线面平行的判定定理得到
平面
;(Ⅱ)连接
,因为
为菱形,则
,且
.如图建立空间直角坐标系
,利用向量垂直数量积为零,分别列方程组求出平面
的法向量与平面
的法向量,根据空间向量夹角余弦公式可得二面角
的余弦弦值,进而可得其正弦值.
试题解析:(Ⅰ)在上取点
,使得
,连接
,可证平面
平面
,从而得到
平面
(或在上取点
,证明四边形
为平行四边形得到
,从而得到
平面
)
(Ⅱ)如图,连接,因为
为菱形,则
,且
.如图建立空间直角坐标系
.
因为,故
,
所以,
.
由知,
,
从而,
即.
,
设平面的法向量为
,平面
的法向量为
,
由,得
由,得
故可取
由,得
故可取,
从而法向量的夹角的余弦值为
,
故所求二面角的正弦值为
.
【方法点晴】本题主要考查利用空间向量求二面角以及线面平行的判定定理,属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是:(1)观察图形,建立恰当的空间直角坐标系;(2)写出相应点的坐标,求出相应直线的方向向量;(3)设出相应平面的法向量,利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量;(4)将空间位置关系转化为向量关系;(5)根据定理结论求出相应的角和距离.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在极坐标系中,曲线 的极坐标方程是
,以极点为原点
,极轴为
轴正半轴(两坐标系取相同的单位长度)的直角坐标系
中,曲线
的参数方程为:
(
为参数).
(1)求曲线 的直角坐标方程与曲线
的普通方程;
(2)将曲线 经过伸缩变换
后得到曲线
,若
分别是曲线
和曲线
上的动点,求
的最小值.
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【题目】已知椭圆C1: +
=1(a>b>0)的离心率为
,P(﹣2,1)是C1上一点.
(1)求椭圆C1的方程;
(2)设A,B,Q是P分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点,平行于AB的直线l交C1于异于P、Q的两点C,D,点C关于原点的对称点为E.证明:直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形.
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【题目】已知f(x)是定义在R上的偶函数,且x≤0时, f(x)=-x+1
(1)求f(0),f(2);
(2)求函数f(x)的解析式;
(3)若f(a-1)<3,求实数a的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)=
(1)当a≥1时,求f(x)在[0,e](e为自然对数的底数)上的最大值;
(2)对任意的正实数a,问:曲线y=f(x)上是否存在两点P,Q,使得△POQ(O为坐标原点)是以O为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在y轴上?
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【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn , 且对任意正整数n,都有an= +2成立.
(1)记bn=log2an , 求数列{bn}的通项公式;
(2)设cn= ,求数列{cn}的前n项和Tn .
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【题目】已知椭圆:
的离心率为
,以椭圆长、短轴四个端点为顶点为四边形的面积为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)如图所示,记椭圆的左、右顶点分别为、
,当动点
在定直线
上运动时,直线
分别交椭圆于两点
、
,求四边形
面积的最大值.
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【题目】已知椭圆,焦距为2,离心率
为
.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)过点作圆
的切线,切点分别为
,直线
与
轴交于点
,过点
的直线
交椭圆
于
两点,点
关于
轴的对称点为
,求
的面积的最大值.
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