Question

【题目】已知函数f（x）=
（1）当a≥1时，求f（x）在[0，e]（e为自然对数的底数）上的最大值；
（2）对任意的正实数a，问：曲线y=f（x）上是否存在两点P，Q，使得△POQ（O为坐标原点）是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）= ，

当0≤x＜1时，f′（x）=﹣3x2+2x=﹣3x（x﹣ ），

令f'（x）＞0，解得：0≤x＜ ，

令f′（x）＜0，解得： ＜x＜1，

故f（x）在[0， ）递增，在（ ，1）递减，

而f（ ）= ，

∴f（x）在区间[0，1）上的最大值为 ，

1≤x＜e时，f（x）=alnx，f′（x）= ＞0，

f（x）在[1，e]递增，f（x）max=f（e）=a≥1，

综上f（x）在[0，e]的最大值是a

（2）解：曲线y=f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P，Q只能在y轴的两侧，

不妨设P（t，f（t））（t＞0），则Q（﹣t，t3+t2），显然t≠1，

∵△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，

∴ =0，即﹣t2+f（t）（t3+t2）=0．（1）

是否存在两点P、Q等价于方程（1）是否有解．

若0＜t＜1，则f（t）=﹣t3+t2，代入（1）式得，

﹣t2+（﹣t3+t2）（t3+t2）=0，即t4﹣t2+1=0，

而此方程无实数解，因此t＞1．

∴f（t）=alnt，代入（1）式得，﹣t2+（alnt）（t3+t2）=0，

即 =（t+1）lnt． （*），

考察函数在h（x）=（x+1）lnx（x≥1），

则h′（x）=lnx+ +1＞0，

∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，∵t＞1，∴h（t）＞h（1）=0，

当t→+∞时，h（t）→+∞，∴h（t）的取值范围是（0，+∞）．

∴对于a＞0，方程（*）总有解，即方程（1）总有解．

因此对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上总存在两点P、Q，

使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上

【解析】（1）当0≤x＜e时，求导函数，可得f（x）在区间[0，e]上的最大值；（2）假设曲线y=f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧．设P、Q的坐标，由此入手能得到对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上存在两点P、Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．