Question

【题目】已知椭圆C1： + =1（a＞b＞0）的离心率为 ，P（﹣2，1）是C1上一点．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）设A，B，Q是P分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点，平行于AB的直线l交C1于异于P、Q的两点C，D，点C关于原点的对称点为E．证明：直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意可得e= = ，且a2﹣b2=c2，

将P（﹣2，1）代入椭圆方程可得 + =1，

解得a=2 ，b= ，c= ，

即有椭圆方程为 + =1

（2）解：证明：A，B，Q是P（﹣2，1）分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点，

可设A（﹣2，﹣1），B（2，1），Q（2，﹣1），

直线l的斜率为k= ，设直线l的方程为y= x+t，（t≠0）

代入椭圆x2+4y2=8，可得x2+2tx+2t2﹣4=0，

设C（x1，y1），D（x2，y2），E（﹣x1，﹣y1），

即有△=4t2﹣4（2t2﹣4）＞0，解得﹣2＜t＜2，（t≠0）

x1+x2=﹣2t，x1x2=2t2﹣4，

设直线PD，PE的斜率为k1，k2，

则k1+k2= + = ，

要证直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形，

只需证k1+k2=0，即（2﹣x1）（y2﹣1）﹣（2+x2）（y1+1）=0，

由y1= x1+t，y2= x2+t，

可得（2﹣x1）（y2﹣1）﹣（2+x2）（y1+1）=2（y2﹣y1）﹣（x1y2+x2y1）+x1﹣x2﹣4

=x2﹣x1﹣（x1x2+tx1+tx2）+x1﹣x2﹣4=﹣x1x2﹣t（x1+x2）﹣4

=﹣（2t2﹣4）+2t2﹣4=0，

则直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形

【解析】（1）运用椭圆的离心率公式和P满足椭圆方程，解得a，b，进而得到椭圆方程；（2）设A（﹣2，﹣1），B（2，1），Q（2，﹣1），设直线l的方程为y= x+t，代入椭圆方程，设C（x1 ， y1），D（x2 ， y2），E（﹣x1 ， ﹣y1），运用韦达定理，设直线PD，PE的斜率为k1 ， k2 ， 要证直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形，只需证k1+k2=0，化简整理，代入韦达定理，即可得证．