【题目】在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足条件b2+c2﹣a2=bc=1,cosBcosC=﹣ ,则△ABC的周长为 .
【答案】 +
【解析】解:△ABC中,b2+c2﹣a2=bc=1, ∴cosA= =
=
,
∴A= ,
∴B+C= ,
即cos(B+C)=cosBcosC﹣sinBsinC=﹣ ;
又cosBcosC=﹣ ,
∴sinBsinC=cosBcosC+ =﹣
+
=
,
∴bc=4R2sinBsinC=4R2× =1,
解得R= ,其中R为△ABC的外接圆的半径;
∴a=2RsinA=2× ×sin
=
,
∴b2+c2﹣2=1,
解得b2+c2=3,
∴(b+c)2=b2+c2+2bc=3+2×1=5,
∴b+c= ,
∴△ABC的周长为a+b+c= +
.
所以答案是: +
.
【考点精析】认真审题,首先需要了解余弦定理的定义(余弦定理:;
;
).
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【题目】已知数列{an}满足a1=0,an+1=an+2 +1
(1)求证数列{ }是等差数列,并求出an的通项公式;
(2)若bn= ,求数列{b}的前n项的和Tn .
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【题目】已知在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为 (θ为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为
. (Ⅰ)求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程;
(Ⅱ)设M是直线l上任意一点,过M做圆C切线,切点为A、B,求四边形AMBC面积的最小值.
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【题目】已知函数f(x)=x2+ax﹣lnx,a∈R.
(1)若函数f(x)在[1,2]上是减函数,求实数a的取值范围;
(2)令g(x)=f(x)﹣x2 , 是否存在实数a,当x∈(0,e](e是自然常数)时,函数g(x)的最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
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【题目】如图,四棱锥中,底面
是边长为2的菱形,
,
为平面
外一点,且
底面
上的射影
为四边形
的中心,
,
为
上一点,
.
(Ⅰ)若为
上一点,且
,求证:
平面
;
(Ⅱ)求二面角的正弦值.
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【题目】2017年12月4日0时起郑州市实施机动车单双号限行,新能源汽车不在限行范围内,某人为了出行方便,准备购买某能源汽车.假设购车费用为14.4万元,每年应交付保险费、充电费等其他费用共0.9万元,汽车的保养维修费为:第一年0.2万元,第二年0.4万元,第三年0.6万元,…,依等差数列逐年递增.
(1)设使用年该车的总费用(包括购车费用)为
,试写出
的表达式;
(2)问这种新能源汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年平均费用最少),年平均费用的最小值是多少?
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【题目】我市“金牛”公园欲在长、宽分别为 、
的矩形地块内开凿一“挞圆”形水池(如图),池边由两个半椭圆
和
(
)组成,其中
,“挞圆”内切于矩形且其左右顶点
,
和上顶点
构成一个直角三角形
.
(1)试求“挞圆”方程;
(2)若在“挞圆”形水池内建一矩形网箱养殖观赏鱼,则该网箱水面面积最大为多少?
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【题目】已知点A(0,-2),椭圆E: (a>b>0)的离心率为
,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为
,O为坐标原点.
(1)求E的方程;
(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点.当△OPQ的面积最大时,求l的方程.
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