Question

已知函数＝（e为自然对数的底数）
（Ⅰ）求函数单调递增区间；（5分）
（Ⅱ）若,求函数在区间[0，]上的最大值和最小值．（5分）
(III)若函数的图象有三个不同的交点，求实数k的取值范围.
(参考数据)（2分）

Answer 1

解：（Ⅰ）对函数求导，得＝e^x(x²－2)．-----2分
∵e^x＞0． ∴g(x)＝x²－2在(－∞，－)和(，＋∞)上的函数值大于零，g(x)＝x²－2在(－，)上函数值小于零．
函数单调递增区间为(－∞，－)，(，＋∞) --5分
（Ⅱ）①当＜≤2时，
∵由（Ⅰ）得在 [0，]上递减，在（，）上递增，且＝＝0，
∴在[0，]上的最大值为＝0，  
在区间[0，]上的最小值为＝(2－2)e．
------------8分
② 当时，
∵由（Ⅰ）得在[0，]上递减，在(，)上递增，且>，
∴在[0，]上的最大值为＝(a²－2a)e^a，
在区间[0，]上的最小值为＝(2－2)e.
------------10分
(III)实数k的取值范围是（0，(2+2)e）
------------12分

略