Question

【题目】田忌和齐王赛马是历史上有名的故事，设齐王的三匹马分别为，田忌的三匹马分别为 .三匹马各比赛一次，胜两场者为获胜.若这六匹马比赛的优劣程度可以用以下不等式表示： .

（1）如果双方均不知道对方马的出场顺序，求田忌获胜的概率；

（2）为了得到更大的获胜概率，田忌预先派出探子到齐王处打探实情，得知齐王第一场必出上等马，那么，田忌应怎样安排出马的顺序，才能使自己获胜的概率最大？最大概率是多少？

Answer 1

【答案】(1) （2）田忌按或的顺序出马，才能使自己获胜的概率达到最大

【解析】试题分析：（1）齐王与田忌赛马，有六种情况，田忌获胜的只有一种，故田忌获胜的槪率为.（2）因齐王第一场必出上等马，若田忌第一场必出上等马或中等马，则剩下二场，田忌至少输一场，这时田忌必败.为了使自己获胜的概率最大，田忌第一场应出下等马，在余下的两场比赛中，田忌获胜的概率为（余下两场是齐王的中马对田忌上马和齐王的下马对田忌的上马；齐王的中马对田忌下马和齐王的下马对田忌的中马，前者田忌赢，后者田忌输）

解析：记与比赛为，其它同理.

（1）齐王与田忌赛马，有如下六种情况：

； ；

； ；

； ；

其中田忌获胜的只有一种： .故田忌获胜的槪率为.

（2）已知齐王第一场必出上等马，若田忌第一场必出上等马或中等马，则剩下二场，田忌至少输一场，这时田忌必败.为了使自己获胜的概率最大，田忌第一场应出下等马，后两场有两种情形：

①若齐王第二场派出中等马，可能的对阵为： 或.田忌获胜的概率为，

②若齐王第二场派出下等马，可能的对阵为： 或.田忌获胜的概率也为.

所以，田忌按或的顺序出马，才能使自己获胜的概率达到最大.