Question

12．已知椭圆$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$与双曲线$\frac{x^2}{m}-\frac{y^2}{8}=1$有共同的焦点F₁，F₂，两曲线的一个交点为P，则$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$的值为8．

Answer 1

分析 椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$ 的焦点F₁（-3，0），F₂（3，0），则根据双曲线的方程得m+8=3²，解得m=1；利用向量坐标乘法公式即可求出结果．

解答 解：椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$ 的焦点F₁（-3，0），F₂（3，0），则根据双曲线的方程得m+8=3²，解得m=1；
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}=1}\\{\frac{{x}^{2}}{1}-\frac{{y}^{2}}{8}=1}\end{array}\right.$  解得P（±$\frac{5}{3}$，±$\frac{8\sqrt{2}}{3}$），
所以，$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（-3-$\frac{5}{3}$，-$\frac{8\sqrt{2}}{3}$）•（3-$\frac{5}{3}$，-$\frac{8\sqrt{2}}{3}$）=8；
故答案为：8

点评 本题主要考查了椭圆与双曲线基本参数关系，以及向量坐标公式等知识点，属基础题．