Question

3．数列{a_n}满足a₁=1，$\sqrt{\frac{1}{{{a_n}^2}}+2}$=$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}$，数列{a_n²}的前n项和记为S_n，若有S_2n+1-S_n≤$\frac{t}{20}$对任意的n∈N^*恒成立，则正整数t的最小值为17．

Answer 1

分析 由数列递推式得到{$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$}是以1为首项，以1为公差的等差数列，求出a_n²=$\frac{1}{n}$，利用作差法证得数列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）是递减数列，求出其最大项后代入S_2n+1-S_n≤$\frac{t}{20}$，则正整数t的最小值可求．

解答 解：由，$\sqrt{\frac{1}{{{a_n}^2}}+2}$=$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}$，得$\frac{1}{{{a}_{n+1}}^{2}}$-$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$，
∴{$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$}是以1为首项，以1为公差的等差数列．
∴$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$=1+n-1=n，
∴a_n²=$\frac{1}{n}$．
∵（S_2n+1-S_n）-（S_2n+3-S_n+1）
=（a_n+1²+a_n+2²+…+a_2n+1²）-（a_n+2²+a_n+3²+…+a_2n+3²）
=a_n+1²-a_2n+2²-a_2n+3²
=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{2n+2}$-$\frac{1}{2n+3}$=$\frac{1}{2n+2}$-$\frac{1}{2n+3}$＞0，
∴数列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）是递减数列，
数列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）的最大项为
S₃-S₁=a₂²+a₃²=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$=$\frac{5}{6}$．
∵S_2n+1-S_n≤$\frac{t}{20}$对任意n∈N^*恒成立，
∴$\frac{5}{6}$≤$\frac{t}{20}$，即t≥$\frac{50}{3}$，
即t的最小值为17
故答案为：17．

点评 本题考查实数的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数列的通项公式和单调性的灵活运用．