Question

已知函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R.

(1)求证：若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)；

(2)判断(1)中命题的逆命题是否正确，并证明你的结论．

 

Answer 1

（1）见解析

（2）逆命题是真命题，见解析

【解析】【解析】
(1)由a＋b≥0，得a≥－b.

由函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数，得f(a)≥f(－b)，同理，f(b)≥f(－a)，

所以f(a)＋f(b)≥f(－b)＋f(－a)，即f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．

(2)对于(1)中命题的逆命题是：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0，此逆命题为真命题．

现用反证法证明如下：

假设a＋b≥0不成立，则a＋b<0，a<－b，b<－a，

根据f(x)的单调性，得f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，

这与已知f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)相矛盾，故a＋b<0不成立，

即a＋b≥0成立，因此(1)中命题的逆命题是真命题．