Question

7．已知函数f（x）=$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{x}$（a＞0，x＞0）．求证：f（x）在区间（0，+∞）内是增函数．

Answer 1

分析 根据单调性的定义，设任意的x₁＞x₂＞0，然后作差，通分，从而证明f（x₁）＞f（x₂），这样便可得出该函数在（0，+∞）内是增函数．

解答 证明：设x₁＞x₂＞0，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{1}{{x}_{2}}-\frac{1}{{x}_{1}}=\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$；
∵x₁＞x₂＞0；
∴x₁-x₂＞0，x₁x₂＞0；
∴$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在区间（0，+∞）内是增函数．

点评 考查增函数的定义，以及根据增函数的定义证明一个函数为增函数的方法和过程，作差比较f（x₁）与f（x₂）的方法，并且是分式的要通分．