Question

20．在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=3a_n+2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=a_n?log₃（a_n+1），求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=3a_n+2，变形为a_n+1+1=3（a_n+1），利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）b_n=a_n?log₃（a_n+1）=n•3ⁿ-n，利用错位相减法、求和公式即可得出．

解答 解：（1）由a_n+1=3a_n+2，变形为a_n+1+1=3（a_n+1），
∴数列{a_n+1}是等比数列，首项为3，公比为3．
∴a_n+1=3ⁿ，
∴a_n=3ⁿ-1．
（2）b_n=a_n?log₃（a_n+1）=n•3ⁿ-n，
设{n•3ⁿ}的前n项和为T_n=3+2×3²+3×3³+…+n•3ⁿ，
3T_n=3²+2×3³+…+（n-1）•3ⁿ+n×3ⁿ⁺¹，
∴-2T_n=3+3²+…+3ⁿ-n×3ⁿ⁺¹=$\frac{3（{3}^{n}-1）}{3-1}$-n×3ⁿ⁺¹，
∴T_n=$\frac{3}{4}$+$\frac{（2n-1）×{3}^{n+1}}{4}$．
∴数列{b_n}的前n项和S_n=$\frac{2n-1}{4}$?3ⁿ⁺¹-$\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．