Question

12．若两个非零向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$满足$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|=|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|=2|{\overrightarrow a}|$，则向量$\overrightarrow a+\overrightarrow b与\overrightarrow b-\overrightarrow a$的夹角为$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 非零向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$满足$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|=|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|=2|{\overrightarrow a}|$⇒$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$|，设向量$\overrightarrow a+\overrightarrow b与\overrightarrow b-\overrightarrow a$的夹角为θ，由cosθ=$\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•（\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}）}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}||\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}|}$=$\frac{{\overrightarrow{b}}^{2}{-\overrightarrow{a}}^{2}}{{4\overrightarrow{a}}^{2}}$=$\frac{{3\overrightarrow{a}}^{2}{-\overrightarrow{a}}^{2}}{{4\overrightarrow{a}}^{2}}$=$\frac{1}{2}$即可求得答案．

解答 解：∵非零向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$满足$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|=|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|=2|{\overrightarrow a}|$，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$|．
设向量$\overrightarrow a+\overrightarrow b与\overrightarrow b-\overrightarrow a$的夹角为θ，
则cosθ=$\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•（\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}）}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}||\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}|}$=$\frac{{\overrightarrow{b}}^{2}{-\overrightarrow{a}}^{2}}{{4\overrightarrow{a}}^{2}}$=$\frac{{3\overrightarrow{a}}^{2}{-\overrightarrow{a}}^{2}}{{4\overrightarrow{a}}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
又θ∈[0，π]，
∴θ=$\frac{π}{3}$，
故答案为：$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查平面向量数量积的运算，求得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$|是关键，考查推理运算能力，属于中档题．