Question

1．在△ABC中，∠C=90°，BC=2$\sqrt{3}$，AC=2，M为AB中点，将△ACM沿CM折起，使A、B之间的距离为2$\sqrt{2}$，则三棱锥M-ABC的体积为$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 先在原图中作AD⊥MC交MC于点D，交BC于E点，将△ACM沿CM折起后，只要证明AE⊥底面BCM即可．

解答 解：在△ABC中，AB=4，AM=MB=MC=2，
由△AMC为等边三角形，取CM中点D，则AD⊥CM，设AD交BC与E，则AD=$\sqrt{3}$，DE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，CE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
折起后，由BC²=AC²+AB²，知∠BAC=90°，
又cos∠ECA=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．∴AE²=CA²+CE²-2CA•CEcos∠ECA=$\frac{8}{3}$，
于是AC²=AE²+CE²．∴∠AEC=90°．
∵AD²=AE²+ED²，∴AE⊥DE，
∴AE⊥平面BCM，即AE是三棱锥A-BCM的高，AE=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
∵S_△BCM=$\frac{1}{2}$×$2×2\sqrt{3}×sin30°$=$\sqrt{3}$，
∴V_A-BCM=$\frac{1}{3}{S}_{△BCM}•AE$=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\frac{2\sqrt{6}}{3}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查由平面图形折成空间图形求其体积，求此三棱锥的高是解决问题的关键．本题还可以直接过点A作AE⊥BC交BC于E点，连接ME，证明AE⊥ME，即可说明AE⊥底面BCM．