Question

7．已知数列{a_n}满足：a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，1≤n≤2016}\\{2•（\frac{1}{3}）^{n-2016}，n≥2017}\end{array}\right.$，设S_n表示数列{a_n}的前n项和．则下列结论正确的是（　　）

• A． $\lim_{n→∞}{a_n}$和$\lim_{n→∞}{S_n}$都存在
• B． $\lim_{n→∞}{a_n}$和$\lim_{n→∞}{S_n}$都不存在
• C． $\lim_{n→∞}{a_n}$存在，$\lim_{n→∞}{S_n}$不存在
• D． $\lim_{n→∞}{a_n}$不存在，$\lim_{n→∞}{S_n}$存在

Answer 1

分析 推导出S_n=2017-（$\frac{1}{3}$）^n-2016，根据极限的定义即可判断．

解答 解：∵数列{a_n}，对任意的正整数n，a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，1≤n≤2016}\\{2•（\frac{1}{3}）^{n-2016}，n≥2017}\end{array}\right.$，设S_n表示数列{a_n}的前n项和，
∴a₁=a₂=a₃=…=a₂₀₁₆=1，a₂₀₁₇=-$\frac{2}{3}$，a₂₀₁₈=-$\frac{2}{9}$，a₂₀₁₉=-$\frac{2}{27}$，…，
∴S_n=2016+$\frac{\frac{2}{3}[1-（\frac{1}{3}）^{n-2016}]}{1-\frac{1}{3}}$=2016+1-（$\frac{1}{3}$）^n-2016=2017-（$\frac{1}{3}$）^n-2016，
$\lim_{n→∞}{S_n}$=$\underset{lim}{n→∞}$[2017-（$\frac{1}{3}$）^n-2016]=2017，$\lim_{n→∞}{a_n}$=$\underset{lim}{n→∞}$（2×（$\frac{1}{3}$）^n-2016）=0，
故选：A

点评 本题考查了分组求和和极限的定义，属于中档题．