Question

已知函数f（x）=ax²+bx-2
（1）若f（x）＜0得解集为(-

1

3

，2)，求a，b的值；
（2）若b=3a-2，且函数f（x）在区间[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（3）设a＞0，P=

1

2

[f(x1)+f(x2)]，Q=f(

x1+x2

2

)，试比较P与Q的大小．

Answer 1

考点：函数单调性的性质,二次函数的性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由已知得a＞0，且-

1

3

，2是f（x）=0的两根，再由韦达定理，即可得到a，b；
（2）由条件得a＞0，且-

b

2a

≤1，再解不等式，即可得到a的范围；
（3）求出P，Q，作差化简整理，配方，即可比较P，Q的大小．

解答： 解：（1）f（x）＜0得解集为(-

1

3

，2)，
则a＞0，且-

1

3

，2是f（x）=0的两根，
则-

1

3

+2=-

b

a

且-

2

3

=-

2

a

，解得，a=3，b=-5；
（2）由已知函数f（x）在区间[1，+∞）上单调递增，
则有a＞0，且-

b

2a

≤1，
由于b=3a-2，则-

3a-2

2a

≤1，
解得，a≥

2

5

；
（3）P=

1

2

（ax₁²+bx₁-2+ax₂²+bx₂-2）
=

1

2

a（x₁²+x₂²）+

b

2

（x₁+x₂）-2，
Q=a（

x1+x2

2

）²+

b

2

（x₁+x₂）-2，
P-Q=-a（

x1+x2

2

）²+

1

2

a（x₁²+x₂²）
=a（

1

2

x₁²+

1

2

x₂²-

1

4

x₁²-

1

4

x₂²-

1

2

x₁x₂）
=

1

4

a（x₁-x₂）²≥0，
则有P≥Q．

点评：本题考查函数的单调性的运用，考查二次方程和二次不等式的关系，考查化简和运算能力，属于中档题．