Question

已知函数f（x）=x²-（a+2）x+alnx．
（1）当a=1时，求函数f（x）的极值；
（2）设定义在D上的函数y=g（x）在点P（x₀，y₀）处的切线方程为l：y=h（x）．当x≠x₀时，若

g(x)-h(x)

x-x0

＞0在D内恒成立，则称P为函数y=g（x）的“转点”．当a=8时，问函数y=f（x）是否存在“转点”？若存在，求出“转点”的横坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）将a=1代入函数表达式，求出导函数得到单调区间从而求出函数的极值；
（Ⅱ）a=8时，由y=f（x）在其图象上一点P（x₀，f（x₀））处的切线方程，得h（x）=（2x₀+

8

x0

-10）（x-x₀）+x02-10x₀+8lnx₀，设F（x）=f（x）-h（x）=，则F（x₀）=0，F′（x）=f′x）-h′（x）=（2x+

8

x

-10）-（2x₀+

8

x0

-10）=

2

x

（x-x₀）（x-

4

x0

）；分别讨论当0＜x₀＜2，x₀=2，x₀＞2时的情况，从而得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）a=1时，f′（x）=2x-3+

1

x

=

(x-1)(2x-1)

x

，
当f′（x）＞0时，0＜x＜

1

2

，或x＞1，
当f′（x）＜0时，

1

2

＜x＜1，
∴f（x）在（0，

1

2

）和（1，+∞）递增，在（

1

2

，1）递减；
∴x=

1

2

时，f（x）_极大值=-

5

4

+ln

1

2

，
x=1时，f（x）_极小值=-2；
（Ⅱ）a=8时，由y=f（x）在其图象上一点P（x₀，f（x₀））处的切线方程，
得h（x）=（2x₀+

8

x0

-10）（x-x₀）+x02-10x₀+8lnx₀，
设F（x）=f（x）-h（x）=，则F（x₀）=0，
F′（x）=f′x）-h′（x）=（2x+

8

x

-10）-（2x₀+

8

x0

-10）
=

2

x

（x-x₀）（x-

4

x0

）；
当0＜x₀＜2时，F（x）在（x₀，

4

x0

）上递减，
∴x∈（x₀，

4

x0

）时，F（x）＜F（x₀）=0，此时

F(x)

x-x0

＜0，
x₀＞2时，F（x）在（

4

x0

，x₀）上递减；
∴x∈（

4

x0

，x₀）时，F（x）＞F（x₀）=0，此时

F(x)

x-x0

＜0，
∴y=f（x）在（0，2），（2，+∞）不存在“转点”，
x₀=2时，F′（x）=

2

x

（x-2）²，即F（x）在（0，+∞）上是增函数；
x＞x₀时，F（x）＞F（x₀）=0，x＜x₀时，F（x）＜F（x₀）=0，
即点P（x₀，f（x₀））为“转点”，
故函数y=f（x）存在“转点”，且2是“转点”的横坐标．

点评：本题考察了利用导数求函数的单调性，求函数的最值问题，如何解决新定义的问题，是一道综合题．