Question

已知数列{a_n}满足a_n•a_n+1=2•3^n-1，n=1，2，3…，a₁=1，
（1）求证：n≥2时，总有

an+1

an-1

=3；
（2）数列{b_n}满足b_n=

log3an ，  n为奇数 an ，  n为偶数

，求{b_n}的前2n项和S_2n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由an•an+1=2•3n-1可得n≥2，an-1•an=2•3n-2，两式相除可证
（2）由（1）中的结论知{a_n}的奇数项和偶数项分别从小到大构成公比为3的等比数列，结合等比数列的通项公式可求a_2n-1，a_2n，进而可求b_2n，b_2n-1，然后结合等差与等比数列的求和公式采用分组求和即可求解

解答： 证明：（1）由an•an+1=2•3n-1对一切正整数n都成立，得n≥2，an-1•an=2•3n-2
两式相除可得n≥2，

an+1

an

=3…（6分）
解：（2）由（1）中的结论知{a_n}的奇数项和偶数项分别从小到大构成公比为3的等比数列，其中a2n-1=1•3n-1，a2n=2•3n-1
由已知有，b2n-1=log3a2n-1=n-1，b2n=a2n=2•3n-1
∴{b_n}的前2n项和S_2n=（b₁+b₃+…+b_2n-1）+（b₂+b₄+…+b_2n）
=（0+1+…+n-1）+2（3⁰+3¹+…+3^n-1）
=

0+n-1

2

×n+2•

1-3n

1-3

=

(n-1)n

2

+3n-1…（13分）

点评：本题主要考查了数列的递推公式的应用，等差数列与等比数列的求和公式的应用及分组求和方法的应用．