Question

函数f（x）=2lnx+

ax

x+1

有两个不同的极值点x₁，x₂，其中a为实常数．
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）设命题p：?x∈（0，+∞），

f(x1)+f(x2)

x+1

≥

f(x)+2

x

-2，试判断命题p的真假，并说明你的理由．

Answer 1

考点：函数在某点取得极值的条件,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（I）因为f（x）有两个不同的极值点x₁，x₂，则x₁，x₂是方程2x²+（a+4）x+2=0的两个不相等的正实数根，所以

△＞0 x1+x2＞0 x1•x2＞0

，解不等式可得a的取值范围；
（Ⅱ）设命题p：?x∈（0，+∞），

f(x1)+f(x2)

x+1

≥

f(x)+2

x

-2，可转化为lnx-x+1≤0，构造函数g（x）=lnx-x+1，利用导数示求出最值，可得结论．

解答： 解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），
f′（x）=

2

x

+

a

(x+1)2

=

2x2+(a+4)x+2

x(x+1)2

              …（2分）
因为f（x）有两个不同的极值点x₁，x₂，
则x₁，x₂是方程2x²+（a+4）x+2=0的两个不相等的正实数根
所以

△＞0 x1+x2＞0 x1•x2＞0

，即

(a+4)2-16＞0 - a+4 2 ＞0

    …（4分）
解得：a＜-8，
故a的取值范围是：（-∞，-8）…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：x₁•x₂=1
故f（x₁）+f（x₂）=2lnx₁+

ax1

x1+1

+2lnx₂+

ax2

x2+1

=2ln（x₁•x₂）+a（

x1

x1+1

+

x2

x2+1

）
=a•

2x1x2+x1+x2

x1x2+x1+x2+1

=a•

2+x1+x2

2+x1+x2

=a，…（9分）
所以不等式

f(x1)+f(x2)

x+1

≥

f(x)+2

x

-2化为：

a

x+1

≥

f(x)+2

x

-2，
即 ax≥（x+1）f（x）+2（x+1）-2x（x+1），
即  ax≥（x+1）2lnx+ax+2（x+1）-2x（x+1），
因为x＞0，则不等式可化为：lnx-x+1≤0              …（11分）
令g（x）=lnx-x+1，则g′（x）=

1

x

-1（x＞0）．
x＞1时，g′（x）＜0；0＜x＜1时，g′（x）＞0
所以当x∈（0，+∞）时，g（x）_max=g（1）=0
所以当x∈（0，+∞）时，lnx-x+1≤0恒成立．
故命题p为真命题                                      …（13分）

点评：本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，导数在最大值，最小值问题中的应用，是导数的综合应用，运算量大，综合性可，属于难题．