Question

7．设数列{a_n}满足：a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=$\frac{1+{a}_{n}}{1-{a}_{n}}$（n≥1），则a₂₀₁₆=-$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 通过计算出前几项的值确定周期，进而计算可得结论．

解答 解：依题意，a₂=$\frac{1+{a}_{1}}{1-{a}_{1}}$=$\frac{1+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}$=3，
a₃=$\frac{1+{a}_{2}}{1-{a}_{2}}$=$\frac{1+3}{1-3}$=-2，
a₄=$\frac{1+{a}_{3}}{1-{a}_{3}}$=$\frac{1-2}{1+2}$=$-\frac{1}{3}$，
a₅=$\frac{1+{a}_{4}}{1-{a}_{4}}$=$\frac{1+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}$=2，
∴数列{a_n}是以4为周期的周期数列，
又∵2016=504×4，
∴a₂₀₁₆=a₄=-$\frac{1}{3}$，
故答案为：-$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．