Question

2．如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP=2，则$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AC}$=8．

Answer 1

分析 设对角线AC、BD相交于O点，根据平行四边形的性质与向量加法法则，得到$\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AO}$=2（$\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PO}$），代入$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AC}$，展开后即可求得答案．

解答 解：如图，
设对角线AC、BD相交于O点，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AO}$=2（$\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PO}$），
因此，$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AP}•2\overrightarrow{AO}$=2$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AO}$=2$\overrightarrow{AP}•（\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PO}）$=2${\overrightarrow{AP}}^{2}+2\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{PO}$，
∵|$\overrightarrow{AP}$|=2，$\overrightarrow{AP}⊥\overrightarrow{PO}$，
∴$|\overrightarrow{AP}{|}^{2}=4，\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{PO}=0$，
由此可得$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AC}=8$．
故答案为：8．

点评 本题在平行四边形中求向量的数量积，着重考查了平行四边形的性质、向量的线性运算性质、向量的数量积及其运算性质等知识，属于中档题．