Question

设函数f（x）=ln（x+a）+x²，
（1）若a=，解关于x不等式；
（2）证明：关于x的方程2x²+2ax+1=0有两相异解，且f（m）和f（n）分别是函数f（x）的极小值和极大值（m，n为该方程两根，且m＞n）．

Answer 1

（1）解：a=时，求导函数可得

=． 
f（x）的定义域为（﹣，+∞）．    
当﹣＜x＜﹣1时，f'（x）＞0；
当﹣1＜x＜时，f'（x）＜0；
当x＞时，f'（x）＞0．
从而，f（x）在（﹣，﹣1），（，+∞）单调增加，在（﹣1，）单调减少．
∵，f（）=
∴不等式等价于
∴
∴0≤x＜ln²2即所求不等式的解集为{x|0≤x＜ln²2}．
（2）证明：依题意，f（x）的定义域为（﹣a，+∞），
令g（x）=2x²+2ax+1，因为g（﹣a）=1=g（0）＞0，
g（x）的对称轴为x=﹣0.5a＞﹣a，△=4a²﹣8a＞0（a²＞2），g（﹣a）=1＞0
∴g（x）在（﹣a，+∞）有两个零点．即方程2x²+2ax+1=0有两相异解
由已知f（x）的定义域为{x|x＞﹣a}且，
若m，n（m＞n）方程2x²+2ax+1=0有两相异解，则f'（x）＞0的解集为（﹣a，n）∪（m，+∞）（∵a＞0）