Question

10．若a＞0，b＞0，且a²+b²=1．
（1）求$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值；
（2）求$\frac{b}{{a}^{3}}$+$\frac{a}{{b}^{3}}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）设a=sinθ，b=cosθ，θ∈（0，$\frac{π}{2}$），可得原式=$\frac{\sqrt{1+sin2θ}}{\frac{1}{2}sin2θ}$，令t=$\sqrt{1+sin2θ}$，则t∈（1，$\sqrt{2}$]，可得原式=$\frac{2t}{{t}^{2}-1}$=$\frac{2}{t-\frac{1}{t}}$，根据分母为增函数，可得t=$\sqrt{2}$时，原式取最小值2$\sqrt{2}$，
（2）$\frac{b}{{a}^{3}}$+$\frac{a}{{b}^{3}}$=（$\frac{b}{{a}^{3}}$+$\frac{a}{{b}^{3}}$）（a²+b²）=$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$+$\frac{{b}^{3}}{{a}^{3}}$+$\frac{{a}^{3}}{{b}^{3}}$，结合基本不等式，可得答案．

解答 解：（1）∵a＞0，b＞0，且a²+b²=1．
∴设a=sinθ，b=cosθ，θ∈（0，$\frac{π}{2}$），
则$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\frac{1}{sinθ}$+$\frac{1}{cosθ}$=$\frac{sinθ+cosθ}{sinθcosθ}$=$\frac{\sqrt{1+sin2θ}}{\frac{1}{2}sin2θ}$，
令t=$\sqrt{1+sin2θ}$，则t∈（1，$\sqrt{2}$]，
原式=$\frac{2t}{{t}^{2}-1}$=$\frac{2}{t-\frac{1}{t}}$，
故t=$\sqrt{2}$时，原式取最小值2$\sqrt{2}$，
（2）$\frac{b}{{a}^{3}}$+$\frac{a}{{b}^{3}}$=（$\frac{b}{{a}^{3}}$+$\frac{a}{{b}^{3}}$）（a²+b²）=$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$+$\frac{{b}^{3}}{{a}^{3}}$+$\frac{{a}^{3}}{{b}^{3}}$≥2+2=4，
故$\frac{b}{{a}^{3}}$+$\frac{a}{{b}^{3}}$的最小值为4．

点评 本题考查的知识点是基本不等式在求最值时的应用，换元法，转化思想，函数单调性的性质，难度中档．