Question

1．已知点P（2，-1），求：
（1）过P点与原点O距离为2的直线l的方程；
（2）是否存在过P点与原点O距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）直线经过点P与x轴垂直时，直线方程为x=2，满足过P点与原点O距离为2．直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y+1=k（x-2），即kx-y-2k-1=0，利用点到直线的距离公式可得：$\frac{|0-2k-1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，解出即可得出．
（2）到直线l与直线OP垂直时，满足原点O到直线l的距离取得最大值，|OP|=$\sqrt{5}$．即可判断出结论．

解答 解：（1）直线经过点P与x轴垂直时，直线方程为x=2，满足过P点与原点O距离为2．
直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y+1=k（x-2），即kx-y-2k-1=0，则$\frac{|0-2k-1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，解出k=$\frac{3}{4}$，因此直线l的方程为：3x-4y-10=0，
综上可得：直线l的方程为：x=2或3x-4y-10=0．
（2）到直线l与直线OP垂直时，满足原点O到直线l的距离取得最大值，为|OP|=$\sqrt{{2}^{2}+（-1）^{2}}$=$\sqrt{5}$．
因此不存在过P点与原点O距离为6的直线．

点评 本题考查了点到直线的距离公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．